进制

常用进制

二进制 binary system
八进制 octonary number system 、octal、O
十进制 decimalism
十六进制 hexadecimal、hex、0x

二进制表示

机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式,叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机中用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1。比如，十进制中的数+3，计算机字长为8位，转换成二进制就是 00000011 。这里的 00000011 就是机器数。

真值

因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。例：0000 0001的真值是 1，1000 0001的真值是 –1。

将一个真值表示成二进制字串的机器数的过程就称为编码。

原码

原码就是符号位加上真值的绝对值,即用第一位表示符号,其余位表示值。比如，如果是8位二进制:

[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001

第一位是符号位。因为第一位是符号位，所以8位二进制数的取值范围就是:

[1111 1111 , 0111 1111]
[-127 , 127]

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式

反码

反码的表示方法是:

正数的反码是其本身
负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反

可见如果一个反码表示的是负数，人脑无法直观的看出来它的数值，通常要将其转换成原码再计算。

补码

补码的表示方法是:

正数的补码就是其本身
负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1，即在反码的基础上+1。

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

对于负数，补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的，通常也需要转换成原码在计算其数值.

源码、反码、补码

正数：

原码=反码=补码

负数：

反码=原码的所有位（符号位除外）取反
补码=反码+1

一个字节为什么存的值是-128到127，int取值范围怎么算的？

一个字节的取值范围为什么是-128~127呢？
一个字节有8位，第1位是符号位，1代表负数，0代表正数。

所以一个字节：
最小正数二进制是0000 0000=0
最大正数二进制是0111 1111 = 64+32+16+8+4+2+1=127
最大负数二进制是1111 1111 = -1
最小负数二进制是1000 0000→ 反码:1111 1111→ 补码: - {（1+2+4+8+16+32+64）+1} =-(127+1)=-128

8位一共存储2^8=256个数，由于计算机中0没有正负之分，所以存的数值为：-128 —— -1 和 0 —— 127

int取值范围：p

int占四个字节，32位

数据	十进制	十六进制	二进制
最小正数	0	0	0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
最大正数	2147483647	7FFF FFFF	0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111
最小负数	-2147483648	8000 0000	1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
最大负数	-1	7FFF FFFF	1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

原码、反码、补码是计算机中表示数值的三种不同编码方式，以下是它们的详细介绍：

原码
- 定义：原码是一种简单的机器数表示法，最高位为符号位，0 表示正数，1 表示负数，其余位表示数值的绝对值。
- 示例：以 8 位二进制数为例，+7 的原码是 00000111，-7 的原码是 10000111。
- 特点：原码的优点是直观易懂，与人们日常的数值表示方式相似。但它的缺点是在进行加减法运算时，需要根据符号位来判断运算规则，增加了运算的复杂性。
反码
- 定义：对于正数，其反码与原码相同；对于负数，其反码是在原码的基础上，除符号位外，其余各位按位取反。
- 示例：以 8 位二进制数为例，+7 的反码是 00000111，-7 的反码是 11111000。
- 特点：反码在计算机中主要作为原码到补码转换的中间过渡形式，本身使用相对较少。它解决了原码在符号位处理上的一些问题，但仍存在一些不足，如 0 的表示不唯一等。
补码
- 定义：对于正数，其补码与原码相同；对于负数，其补码是在反码的基础上，末位加 1。
- 示例：以 8 位二进制数为例，+7 的补码是 00000111，-7 的补码是 11111001。
- 特点：补码的引入主要是为了解决原码在加减法运算中的复杂性问题。在补码表示下，符号位可以像数值位一样参与运算，使得加减法运算可以统一进行，大大简化了计算机的运算电路设计。而且，补码中 0 的表示是唯一的。

在计算机中，通常使用补码来表示有符号整数，因为它能够方便地进行数值的存储和运算，提高了计算机处理数据的效率和准确性。

原码、反码和补码之间如何进行转换？

原码、反码和补码之间的转换规则如下（以 8 位二进制数为例）：

1. 正数的转换

规则：正数的原码、反码、补码完全相同，符号位为 0，数值位为真值的二进制表示。

示例：以 +7 为例

原码：0 0000111 符号位 0，数值位 0000111（即十进制的 7）。
反码：0 0000111 与原码相同。
补码：0 0000111 与原码相同。

2. 负数的转换

规则：

原码 → 反码：符号位不变（仍为 1），数值位按位取反（0 变 1，1 变 0）。
反码 → 补码：在反码的基础上，末位加 1。
补码 → 原码：先对补码减 1 得到反码，再对反码取反得到原码（符号位始终不变）。

示例：以 -7 为例

原码：1 0000111 符号位 1，数值位 0000111。
反码：1 1111000 符号位不变，数值位取反。
补码：1 1111001 反码末位加 1。

补码 → 原码的验证：

补码 1 1111001
减 1 得反码：1 1111000
数值位取反得原码：1 0000111（即 -7）。

3. 特殊值 `0` 的表示

规则：

原码
：有两种表示方式：
- +0：0 0000000
- -0：1 0000000
反码
：同样有两种表示方式：
- +0：0 0000000
- -0：1 1111111
补码
：只有一种表示方式：
- 0：0 0000000 （原码的 -0 在补码中表示为 -128）

4. 示例：求 `-128` 的补码（8 位）

步骤：

原码：无法用 8 位原码表示（原码范围为 -127 到 +127）。
补码
：直接计算：
- 超出原码范围的数（如 -128）的补码为 10000000。
- 验证：补码 10000000 减 1 得 01111111（反码），取反得 10000000（原码形式，但在补码中解释为 -128）。

5. 总结转换公式

原码 → 补码	补码 → 原码
正数：不变	正数：不变
负数：数值位取反 +1	负数：数值位取反 +1

记忆技巧

正数：三码合一。
负数：原码 ↔ 补码互为 “取反加 1”。
补码优势：统一加减法运算，符号位可直接参与计算。

掌握这些规则后，即可快速进行原码、反码和补码之间的转换。

原码、反码和补码分别是如何被应用在计算机中的？

原码、反码和补码在计算机中有不同的应用方式，具体如下：

原码

简单数据表示：原码直接表示数值的大小和符号，直观地反映了数值的真实情况，常用于一些对数值表示精度要求不高，且更注重直观理解的场景，如在计算机早期的一些简单数据处理程序中，或在一些需要直接展示数值原始形态的调试工具中，开发人员可以通过原码清晰地看到数值的符号和绝对值部分。
乘法运算：在计算机乘法运算中，原码可用于部分计算过程。因为原码的符号位可以直接参与符号的判断，根据两个数的符号位异或来确定乘积的符号，而数值部分则可以按照普通的乘法规则进行运算，最后再将符号位和数值部分组合得到结果的原码。

反码

作为中间过渡：反码主要作为原码到补码转换的中间步骤。在计算机内部进行数据处理和运算时，当需要将原码转换为补码进行运算，或者在某些需要对补码进行逆向操作得到原码的情况下，反码就起到了过渡的作用，帮助完成这些转换过程。
早期计算机运算探索：在计算机发展的早期阶段，也曾尝试过使用反码进行一些运算，但由于反码存在一些缺陷，如 0 的表示不唯一等问题，导致其在实际运算中的应用不够理想，逐渐被补码所取代，但在一些特定的历史资料或早期计算机体系结构的研究中，仍能看到反码在运算中的相关应用。

补码

数据存储：计算机中通常使用补码来存储有符号整数。因为补码可以将正数和负数统一表示，并且 0 的表示唯一，使得计算机在存储和处理数值数据时更加方便和高效。例如，在 8 位二进制补码表示中，00000000 表示 0，10000000 表示 -128，01111111 表示 127，这样可以充分利用所有的二进制组合来表示不同的数值，扩大了可表示的数值范围。
加减法运算：补码的最大优势在于可以将加减法运算统一起来。在计算机的运算器中，无论是加法还是减法，都可以通过补码的加法来实现。例如，计算 5 - 3，可以转化为 5 + (-3)，5 的补码是 00000101，-3 的补码是 11111101，将它们相加得到 00000010，即 2 的补码，结果正确。这样就大大简化了计算机运算电路的设计，提高了运算效率。
实现模运算：在一些需要进行模运算的场景中，补码也有重要应用。例如，在计算机的时钟系统中，通过补码可以方便地实现对时间的循环计数，就像时钟在 12 点之后又从 1 点开始计数一样，利用补码可以实现类似的循环计数机制，以处理各种周期性的数据。

https://www.doubao.com/thread/w7206ac974b710cff

定点数

定点数是小数点固定的数。在计算机中没有专门表示小数点的位，小数点的位置是约定默认的。一般固定在机器数的最低位之后，或是固定在符号位之后。前者称为定点纯整数，后者称为定点纯小数。定点数表示法简单直观，但是数值表示的范围太小，运算时容易产生溢出。

浮点数

浮点数是小数点的位置可以变动的数。为增大数值表示范围，防止溢出，采用浮点数表示法。浮点表示法类似于十进制中的科学计数法。

在计算机中通常把浮点数分成阶码和尾数两部分来表示，其中阶码一般用补码定点整数表示，尾数一般用补码或原码定点小数表示。为保证不损失有效数字，对尾数进行规格化处理，也就是平时所说的科学记数法，即保证尾数的最高位为1，实际数值通过阶码进行调整。

阶符表示指数的符号位、阶码表示幂次、数符表示尾数的符号位、尾数表示规格化后的小数值。

N = 尾数×基数阶码（指数）

作用

计算机可以有三种编码方式表示一个数，接下来说下原码、补码、反码的作用。

对于正数

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

三种编码方式的结果都相同

对于负数

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

二进制的负数用补码表示

可见原码、反码和补码是完全不同的。既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式，为何还会有反码和补码呢？

首先，因为人脑可以知道第一位是符号位，在计算的时候我们会根据符号位，选择对真值区域的加减。但是对于计算机，加减乘数已经是最基础的运算，要设计的尽量简单，计算机辨别符号位显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂！

于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。我们知道，根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数，即：1-1 = 1 + (-1) = 0，所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了。

于是人们开始探索将符号位参与运算，并且只保留加法的方法。首先来看原码：

计算十进制的表达式： 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原码表示，让符号位也参与计算，显然对于减法来说，结果是不正确的，这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。

为了解决原码做减法的问题，出现了反码：

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的，而唯一的问题其实就出现在0这个特殊的数值上。虽然人们理解上+0和-0是一样的，但是0带符号是没有任何意义的，而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0，很浪费。

于是补码的出现，解决了0的符号以及两个编码的问题：

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原

总结

反码是为了解决减法运算。
补码是为了解决反码产生的±0的问题。

补充

[0000 0001]补 + [1111 1111] 补结果是会溢出的，计算时都要溢出的，否则计算就会错误，补码也就没意义了。

这样0用[0000 0000]表示，而以前出现问题的-0则不存在了，而且可以用[1000 0000]表示-128：

(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补

-1-127的结果应该是-128，在用补码运算的结果中，[1000 0000]补码就是-128。但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128，所以-128并没有原码和反码表示。对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原，这是不正确的。

因为机器使用补码，所以对于编程中常用到的32位int类型，可以表示范围是：[-231, 231-1] ，因为第一位表示的是符号位，而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。

另如：8位类型原码：[11111111] - [01111111]，即-127 - 127，但补码能多表示一个最小值(原码反码补码都是不同的表示方式，但最终的真值是一样的)，即8位类型数据可以表示的范围为：-128 - 127。

16位即[-215, 215-1]，32位即[-231, 231-1]

常用位数的边界值

8位无符号整数范围

[0 - 28-1]，即[0 - 255]或[0 - 0xFF]

16位无符号整数范围

[0 - 216-1]，即[0 - 65535]或[0 - 0xFFFF]

32位无符号整数范围

[0 - 232-1]，即[0 - 4294967295]或[0 - 0xFFFFFFFF]

8位有符号整数范围

[-27- 27-1]，即[-128 - 127]或[-0x80 - 0x7F]

16位有符号整数范围

[-215 - 215-1]，即[-32768 - 32767]或[0x8000 - 0x7FFF]

32位有符号整数范围

[-231 - 231-1]，即[-2147483648- 2147483647]或[0x80000000 - 0x7FFFFFFF]

长整数与短整数转换

短整数转长整数补符号为即可原来8位如果符号是1前面补8个1，如果符号是0前面补8个0

长整数转短整数，计算机会把前面8位砍掉，则发生精度丢失需要注意

LITTLE ENDIAN / BIG ENDIAN (不重要)

大端与小端：超过一个字节的数在内存中的存储顺序

低位在内存小地址 LITTLE ENDIAN

高位在内存小地址 BIG ENDIAN

位掩码

是一种运用位运算的技巧， linux的权限系统就是使用位掩码来构建的，权限掩码umask（umask用来设置默认权限的）。

在设计一个权限系统的时候往往免不了四种权限: 增删改查, 如果我们为每种有可能出现的权限都写一个变量来标识, 那我们需要写 2 ^ 4 = 16 个变量还储存这些组合.

这时就可以用位运算来优化, 首先我们用四个变量来表示权限:

const Insert = 1 // 0001
const Delete = 2 // 0010
const Update = 4 // 0100
const Select = 8 // 1000

比如我们想给一个用户添加 Insert 权限, 那怎么添加呢?

只需要用 |运算符:

const user = registerUser(data)

// 初始为 0000
user.premission = 0

// 如果想新增一个权限    0000 | 0001 => 0001, 此时就拥有了 Insert 的权限
user.premission = user.premission | Insert

// 如果想在增加一个权限  0001 | 0010 => 0011, 此时就拥有了 Insert,Delete 权限
user.premission = user.premission | Delete

// 如果想在增加一个权限  0011 | 0100 => 0111, 此时就拥有了 Insert,Delete,Update 权限
user.premission = user.premission | Update

此时肯定有小伙伴心里在想 0011 不是 3 吗, 我怎么知道 3 有没有包含 Insert 和 Delete 权限嘞?

只需要用 &运算符:

// 0011 & 0010  => 0010 也就是 Delete 的权限
user.premission & Delete === Delete
// 用户权限去 & 指定权限的结果等于指定权限, 那么就意味着该用户拥有该权限.

在用户有 Delete 和 Insert 的同时, 我们怎么取出其中的一个

只需要用 ^运算符:

// 0011 ^ 0010 => 0001
user.premission ^ Delete === Insert

如何删除权限?

需要用到 & 和 ~

// 有 Delete 和 Insert 权限
0011 & ~ 0001
     ↓                                           取反       补码    十进制
1. 先做 ~ 0001, 这里我们只到补码部分   ~ 0 0001 => 1 1110 => 1 0010 => -2
2. 转换 0011 到补码形式 -> 0 0011
3. 0011 & 0010 => 0010 => 2
user.premission = user.premission & ~ Insert === Delete